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-Zahlbegriffsentwicklung nach Piaget-

Piaget glaubte, dass sich der Zahlbegriff, wie jede kognitive Fähigkeit, auf der sensumotorischen Intelligenz des Kindes aufbaut und deshalb auch nur durch aktive Auseinandersetzung mit der Umwelt erworben werden kann. Es genügte ihm nicht, nur die sprachlichen Äußerungen der Kinder zu analysieren, sondern er wollte systematisch beobachten, wie sich die Denkoperationen aus der praktischen Tätigkeit heraus entwickeln. Er entwickelte Verfahren, um die Genese des Zahlbegriffs empirisch zu untersuchen. Piaget fand heraus, dass sich der Zahlbegriff in enger Verbundenheit mit der stufenweisen Erarbeitung der Inklusions-Systeme (Klassenhierarchie), mit den asymmetrischen Relationen (qualitative Serienbildung) und mit der Zahlenfolge, die sich aus der Klassifizierung und der Reihenbildung entwickelt, erworben wird. Er betont, dass Kardinal- und Ordinalzahl nicht zu trennen sind.

Piaget glaubte, dass sich das Verständnis für Zahlen und ihre Anzahlen im Verständnis der Zahlinvarianz widerspiegelt. Mit Zahlinvarianz bezeichnet Piaget die Kardinalzahl bzw. die mathematische Operation zur Feststellung von Äquivalenzklassen. Invarianz beschreibt die Unveränderlichkeit von Größen.
Piaget überprüfte die Entwicklung der Invarianz bei Kindern durch einen „Umschüttversuch“. Dem Kind wurden zwei Gefäße mit unterschiedlich gefärbtem Wasser gezeigt. Es selbst sollte nun das Wasser aus den Gefäßen in jeweils Gefäße mit einer anderen Form gießen. Ein Kleinkind wird nicht erkennen, dass sich die Menge des Wassers nicht verändert hat. Es wird nach der Höhe oder Breite der Gefäße urteilen. Wie bereits oben erwähnt, kann das Kind außerdem nicht mehrere Dimensionen gleichzeitig berücksichtigen. Das Kleinkind ist bis zum Alter von fünfeinhalb oder sechs Jahren nicht in der Lage Mengen zu erhalten. Piaget entdeckte drei Stadien für die Erhaltung von Mengen:

1. Stadium: Es gibt keine Erhaltung von Mengen.
2. Stadium: Es gibt eine Erhaltung der Mengen, wenn sich die Gefäße nicht zu sehr unterscheiden. Wird der Unterschied jedoch größer, bleiben die Mengen nicht erhalten und der visuelle Eindruck überwiegt.
3. Stadium: Das Kind ist in der Lage bei jeder Art von Gefäßen zu durchschauen, dass die Mengen erhalten bleiben. Dieses Stadium beginnt zwischen sechs- und siebeneinhalb Jahren.

In den Untersuchungen zur Erhaltung der Mengen werden von den Kindern operative Leistungen gefordert, die durch Reversibilität und durch die Kompensation der Relationen begründet sind. Erst wenn das Kind das dritte Stadium erreicht hat, gibt es nach Piaget die Zahl. Bis zu diesem Zeitpunkt gibt es nur pränumerische, wahrnehmbare Figuren (vgl. Piaget 1964, S.52-57).
Piaget beschreibt den Zahlbegriff folgendermaßen:

„Ich glaube, daß die Zahl zu gleicher Zeit ein System von Klassen ist, d.h., daß jedes Element in die von ihm und seinem Nachfolger gebildete Gruppe eingeschachtelt ist […]; zu gleicher Zeit muß aber die Reihung oder Reihenfolge dazukommen.“ (a. a. O. S.62)

Nach Piaget sind folglich zwei Bedingungen zum Verständnis der „Zahl“ notwendig:

1) Die Erhaltung des Ganzen (Klasseninklusion)
Die Erhaltung des Ganzen beruht auf logischen Operationen. Mit Klasseninklusion bezeichnet Piaget das Zuordnen einer Teilklasse in eine Gesamtklasse. Die Erhaltung des Ganzen ist gegeben, wenn das Kind weiß, dass das Ganze eine Verbindung von Teilen ist, die man beliebig verteilen kann. Dazu muss das Kind in der Lage sein, reversibel zu denken. Es muss gleichzeitig an das Ganze und an den Teil des Ganzen denken können, das bedeutet für das reversible Denken muss das Kind zum Vergleich des Teils mit dem Ganzen zugleich das Ganze im Kopf erhalten und es aufteilen. Sobald es die Reversibilität gibt, gibt es auch den Erhalt des Ganzen. Piaget untersuchte diesen Aspekt, indem er den Kindern eine Schachtel zeigte, in der sich viele braune Holzperlen, mit zwei weißen darunter, befanden. Die Kinder wurden nun gefragt, ob sich in der Schachtel mehr braune Perlen oder mehr Perlen befänden. Erwachsene können in Gedanken gleichzeitig alle braunen Perlen in eine Kiste füllen und alle Holzperlen, darunter auch die vorherigen braunen Perlen, in eine andere und diese dann miteinander vergleichen. Bei einem Kind aber, das noch über kein reversibles Denken verfügt, besteht das Denken aus einem Handeln in der Vorstellung. Die Perlen, die es in die eine Kiste legt, sind gebunden und können sich nicht gleichzeitig in einer anderen Kiste befinden.
2) Die Ordnung (Seriation)
Für eine numerische Entsprechung gibt es die Ordnung. Die Fähigkeit, Gegenstände nebeneinander zu ordnen, bezeichnete Piaget als Seriation. Das Kind darf ein Element nicht einem der schon gezählten Elemente zuordnen und auch keines auslassen. Damit ein Kind dieses kann, muss erforscht werden, wie das Kind eine Reihe von Elementen ordnet. Piaget bezeichnet die Fähigkeit, Elemente nach zunehmender oder abnehmender Größe zu ordnen als Seriation. Im Rahmen seiner Untersuchungen forderte Piaget z. B. die Kinder auf, eine Treppe aus verschieden großen Stäben zu bauen, die wenig Unterschied in der Höhe aufweisen. Piaget entdeckte bei den Kindern drei Stadien:

1. Stadium: Nicht-Erhaltung Das Ordnen der Stäbe gelingt nicht.
2. Stadium: Das Kind kann über Probieren und Korrigieren eine Treppe aufbauen.
3. Stadium: Das Kind findet eine Methode die Stäbe zu ordnen. Es sucht sich zunächst den kleinsten Stab, indem es ihn mit allen vergleicht, dann nimmt es den kleinsten, von den übrig gebliebenen usw. Es baut auf Anhieb die richtige Reihe.

Piagets Ansatz der Zahlentheorie war damals Aufsehen erregend, da er den Kardinal- und Ordinalzahlaspekt verband. In der Geschichte der Zahlentheorie standen sich zwei unterschiedliche Ansätze gegenüber: Die Ordinalzahl- und die Kardinalzahltheorie. Beide Ansätze beruhen auf dem konstruktivistischen Ansatz zur Entstehung der Zahlen. Sie gehen davon aus, dass die Zahlen nicht von Gott gegeben, sondern von den Menschen konstruiert worden sind. Die Vertreter dieser Theorien suchen nach einer logischen Begründung der Zahlen und des Rechnens.
In der Vergangenheit wurde heftig über die Priorität der Ordinal- bzw. Kardinaltheorie diskutiert. Die Forscher stimmen überwiegend mit Piaget überein, der annimmt, dass sich die Zahl sowohl aus kardinalen als auch aus ordinalen Momenten zusammensetzt. Russell selbst kommt zu dem Schluss, dass der Begriff der Ordinalzahl klassenlogische Beziehungen voraussetzt, die Kardinalzahl jedoch sich auch ohne den ordinalen Begriff definieren lässt.
Nach Piaget müssen also Klassifikationen und Ordnungsrelationen miteinander verschmelzen, um den Zahlbegriff zu erwerben.
Zusammenfassend geht Piaget davon aus, dass der Ordinal- und der Kardinalbegriff parallel erworben werden. Seiner Theorie nach können Kinder den Zahlbegriff erst in der konkret-operationalen Stufe erwerben, da die gleichzeitige Repräsentation von Klassifikation und Ordnungsrelationen vorher noch nicht möglich ist. Piaget versteht die Invarianz als Grundlage jedes Denkprozesses. Insgesamt gewichtet er die Klassifikation stärker als die ordinalen Aspekte der Zahl.